Hankel Determinants for Some Common Lattice Paths

For a single value of `, let f(n, `) denote the number of lattice paths that use the steps (1, 1), (1,−1), and (`, 0), that run from (0, 0) to (n, 0), and that never run below the horizontal axis. Equivalently, f(n, `) satisfies the quadratic functional equation F (x) = P n≥0 f(n, `)x n = 1+ xF (x) + xF (x). Let Hn denote the n by n Hankel matrix, defined so that [Hn]i,j = f(i+ j− 2, `). Here we investigate the values of such determinants where ` = 0, 1, 2, 3. For ` = 0, 1, 2 we are able to employ the Gessel-Viennot-Lindström method. For the case ` = 3, the sequence of determinants forms a sequence of period 14, namely, (det(Hn))n≥1 = (1, 1, 0, 0,−1,−1,−1,−1,−1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0,−1,−1,−1, . . .) For this case we are able to use the continued fractions method recently introduced by Gessel and Xin. We also apply this technique to evaluate Hankel determinants for other generating functions satisfying a certain type of quadratic functional equation. Résumé. Pour une seule valeur de `, soit f(n, `) le nombre des chemins treillis que utilise les pas (1, 1), (1,−1), et (`, 0), vient de (0, 0) á (n, 0), et que ne vient jamais dessous l’axis horizontale. Équivalentement, le f(n, `) satisfié l’équation fonctionnelle quadratique F (x) = P n≥0 f(n, `)x n = 1 + xF (x) + xF (x). Soit Hn le n par n matrice de Hankel, définit pour que [Hn]i,j = f(i+ j− 2, `). Nous examinons de tels déterminants oú ` = 0, 1, 2, 3. Pour ` = 0, 1, 2 nous pouvons employer la méthode de Gessel-Viennot-Lindström. Pour le cas ` = 3, ls séquence de déterminants forme une séquence de période 14, á savoir (det(Hn))n≥1 = (1, 1, 0, 0,−1,−1,−1,−1,−1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0,−1,−1,−1, . . .) Pour ce cas que nous pouvons utiliser la méthode de fractions continuée récemment introduit par Gessel et Xin. Nous appliquons aussi cette technique pour évaluer les déterminants de Hankel pour l’autres fonctions generatrices quie satisfait un certain type d’équation fonctionnelle qudratique.